D´ Repaso Virtual: DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Funciones explícita e implícita

Hasta ahora, la mayoría de las funciones estudiadas se enunciaron de forma explícita. Por ejemplo, en la ecuación

y = 3x² + 5 Forma explícita.

la variable y está escrita explícitamente como función de x . Sin embargo, algunas funciones sólo se enuncian de manera implícita en una ecuación. Así, la función y = 1/x está definida implícitamente por la ecuación x.y = 1 . Supongamos que se pide calcular la derivada dy/dx para esta ecuación. Podemos escribir y como función explícita de x , y luego derivar.

Forma implícita	Forma explícita	Derivada
x.y = 1	y = 1/x	y = 1/x²

Esta estrategia funciona siempre que se pueda despejar y como función de x en la ecuación, de lo contrario, este método no es viable. Por ejemplo, ¿cómo encontrar dy/dx para la ecuación

x² - 2y³ + 4y = 2

donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x ? En tales situaciones se debe usar la llamada derivación implícita.

Para comprender esta técnica, es preciso tener en cuenta que la derivación se efectúa con respecto a x . Esto quiere decir que cuando se tenga que derivar términos que sólo contienen a x , la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando haya que derivar un término donde aparezca y , será necesario aplicar la regla de la cadena , ya que se está suponiendo que y está definida implícitamente como función derivable de x .

Derivación implícita

Estrategias para la derivación implícita

dy/dx

Observar que en el ejemplo 2 la derivación implícita puede producir una expresión para dy/dx en la que aparezcan a la vez x y y .

EJEMPLO N° 1

Encontrar dy/dx dado que y³ + y² - 5y - x² = - 4.

PASO N° 1: Derivar los dos miembros de la ecuación respecto de x.

PASO N° 2: Agrupar los términos con dy/dx en la parte izquierda y pasar todos los demás al lado derecho.

PASO N° 3: Factorizar dy/dx en la parte izquierda. (Factor Común)

PASO N° 4: Despejar dy/dx dividiendo entre (3y² + 2y - 5).

Para ver cómo usar la derivación implícita, considerar la siguiente gráfica. En ella se puede observar que y no es una función de x . A pesar de ello, la derivada determinada en el ejemplo N° 1 proporciona una fórmula para la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de esta gráfica.

EJEMPLO N° 1. A

Hallamos la pendiente de la recta tangente (En la gráfica, la línea AZUL) a la curva y3 + y2 - 5y - x2 = - 4 . en el punto P(2, 0):

	La Pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto P(x, y), viene dada por la ecuación:
	Evaluemos la pendiente en el punto P(2, 0)
	La pendiente de la recta tangente en el punto P(2, 0) es: