MÉTODO ANALÍTICO PARA HALLAR DOMINIO Y RANGO
¿El dominio y el rango siempre se hallan a partir del gráfico? No necesariamente. Existe el método analítico para encontrarlos y se aplica para valores reales de !as variables.
DOMINIO.
- Despejar la variable DEPENDIENTE. (Variable "y")
- Analizar si al despejar la variable DEPENDIENTE, en la variable INDEPENDIENTE, (Variable "x") ocurre uno de los siguientes CASOS:
- CASO 1: Si la variable "x" queda en un DENOMINADOR:
- CASO 2: Si la variable "x" queda dentro de una RAÍZ PAR:
- CASO 3: Si la variable "x" NO queda en un DENOMINADOR: NI tampoco queda en una RAÍZ.
Hallamos los puntos donde el DENOMINADOR SE HACE CERO (Puntos Críticos), para esto hacemos el denominador igual a cero y despejamos la variable "x", si es el caso podemos factorizar y después igualar a cero, estos puntos implican la existencia de ASÍNTOTAS VERTICALES).
Cuando esto ocurra, establecemos la desigualdad para que la raíz pertenezca a los R; Hacemos el radicando mayor o igual a cero, resolvemos esta desigualdad y encontramos e! intervalo solución que corresponde al dominio de la función (nos indica entre que valores del eje x existe gráfica).
Si al despejar la variable dependiente, observamos que NO se cumple ninguno de los CASOS anteriores, entonces nos indica que esta variale puede tomar cualquier valor Real, por tanto, DOM = (-∞, +∞)
- Para hallar las ASÍNTOTAS VERTICALES, despejamos la variable y. Si al hacer esto obtenemos una fracción, entonces buscamos todos los valores de x para los cuales se anula el denominador, pero NO el numerador. Si uno de esos valores es x = a, entonces la recta vertical que pasa por el punto (a,0) será una ASÍNTOTA VERTICAL.
RANGO:
- Despejar la variable INDEPENDIENTE. (Variable "X")
- Analizar si al despejar la variable INDEPENDIENTE, en la variable DEPENDIENTE, (Variable "x") ocurre uno de los siguientes CASOS:
- CASO 1: Si la variable "Y" queda en un DENOMINADOR:
- CASO 2: Si la variable "Y" queda dentro de una RAÍZ PAR:
- CASO 3: Si la variable "Y" NO queda en un DENOMINADOR: NI tampoco queda en una RAÍZ.
Hallamos los puntos donde el DENOMINADOR SE HACE CERO (Puntos Críticos), para esto hacemos el denominador igual a cero y despejamos la variable "Y", si es el caso podemos factorizar y después igualar a cero, estos puntos implican la existencia de ASÍNTOTAS HORIZONTALES).
Cuando esto ocurra, establecemos la desigualdad para que la raíz pertenezca a los R; Hacemos el radicando mayor o igual a cero, resolvemos esta desigualdad y encontramos e! intervalo solución que corresponde al dominio de la función (nos indica entre que valores del eje Y existe gráfica).
Si al despejar la variable independiente, observamos que NO se cumple ninguno de los CASOS anteriores, entonces nos indica que esta variale puede tomar cualquier valor Real, por tanto, RAN = (-∞, +∞)
- Para hallar las ASÍNTOTAS HORIZONTALES, despejamos la variable x. Si obtenemos una fracción, buscamos todos los valores de y para los cuates se anula el denominador, pero NO el numerador. Si une de los valores es y = b entonces la recta horizontal que pasa por el punto (0,b) será una ASÍNTOTA HORIZONTAL.
EJEMPLO 1:
EJEMPLO 2:
Hallar analíticamente el dominio, el rango y las ecuaciones de las asíntotas (si las tiene) de: x2 – xy -3y = 0.
EJEMPLO 3:
Hallar analíticamente el dominio, el rango y las ecuaciones de las asíntotas (si las tiene) de: x2 – xy -3y = 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. x2 – x – 3y = 0
2. 3y + 4x2 – 4x – 3 = 0
3. x2y + 2xy – y = 2
4. xy – x2 – 1 = 0
5. y2 – xy + x + 8 = 0
6. 2xy – 3y + 5 = 0
7. 4x2 + 25y2 = 400
8. x2y + y + 1 = 2x
9. 3x2y + 4x – 5 = 0
10. y2 – xy + x + 8 = 0
11. xy - y + x - 2 = 0
12. y2 - x2 + x + 6 = 0
13. y2 + x2 - x + y - 6 = 0
14. y2 + x2 - x + y - 6 = 0
15. x2 - 2y2 - 2y + 4 = 0
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