En todo problema existen unas cantidades conocidas llamadas DATOS, y otras desconocidas, llamadas INCÓGNITAS .
Resolver un problema es hallar las INCÓGNITAS por medio de RELACIONES o ECUACIONES MATEMÁTICAS. En ocasiones resulta de gran utilidad ayudarse de un ESQUEMAS, DIAGRAMAS o GRÁFICOS.
En todo problema hay que recorrer estas etapas:
1. Elección de incógnitas. 2. Planteo de las ecuaciones. 3. Resolución de las ecuaciones o sistemas. 4. Comprobación de los resultados.
1. ELECCIÓN DE INCOGNITAS
Ya hemos dicho que las incógnitas son los valores desconocidos del problema que han de calcularse. Cada valor desconocido puede sustituirse por una letra, pero hay que tener presente que a veces estos valores están relacionados entre sí. Esto hace que el número de incógnitas pueda disminuir con la consiguiente reducción del número de ecuaciones y facilidad en la resolución de las mismas.
A continuación ponemos una tabla, que relaciona el lenguaje natural (Enunciado) en que vienen dadas las incógnitas y su traducción al lenguaje algebraico.
1. Hallar el doble de un número ? 2. Dados dos números ? 3. Dados dos números enteros consecutivos ? 4. Dos números pares consecutivos ? 5. Dos números impares consecutivos ? 6. Dos números, uno triplo del otro ? 7. Dos números, uno que excede a otro en 10 ? 8. Dos números, uno quinta parte de otro ? 9. Dos números cuyo cociente es 4 ? 10. Dos números cuya suma es 20 ? 11. Un número y su cuadrado ? 12. Dos números cuya razón es 3:4 ? 13. Un número de dos cifras ?
1. Hallar el doble de un número = 2x 2. Dados dos números = x,y 3. Dados dos números enteros consecutivos = x, x + 1 4. Dos números pares consecutivos = 2x, 2x + 2 5. Dos números impares consecutivos = 2x + 1, 2x + 3 6. Dos números, uno triplo del otro = x, 3x 7. Dos números, uno que excede a otro en 10 = x, x + 10 8. Dos números, uno quinta parte de otro = x, x/5 o 5x, x 9. Dos números cuyo cociente es 4 = 4x, x 10. Dos números cuya suma es 20 = x, 20 - x 11. Un número y su cuadrado = x, x2 12. Dos números cuya razón es 3:4 = 3x, 4x 13. Un número de dos cifras = 10x + y
2. PLANTEO DE ECUACIONES
Una vez elegidas las incógnitas, el segundo paso que hay que dar es plantear tantas ecuaciones como incógnitas hay, si el problema está determinado. El pasar del lenguaje natural a una ecuación ofrece a veces dificultad, y sólo la práctica proporciona la intuición del camino a seguir.
Pongo a continuación una tabla con los enunciados más frecuentes y su traducción al lenguaje matemático.
1. La suma de dos números es 10 ? 2. La diferencia de dos números es 10 ? 3. El producto de dos números es 10 ? 4. El cociente de dos números es 8 ? 5. La suma de los cuadrados de dos números es 100 ? 6. La diferencia de los cuadrados de dos números es 64 ? 7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 10 ? 8. La suma de dos números consecutivos es 20 ? 9. La suma de tres números consecutivos es 30 ? 10. La suma de dos números impares consecutivos es 32 ? 11. La suma de dos números pares consecutivos es 60 ? 12. La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 99 ? 13. La suma de dos números proporcionales a 3 y a 4 es 35 ? 14. El cociente entero de dos números es 3 y su resto 4 ?
1. La suma de dos números es 10 ⇒ x + y = 10 2. La diferencia de dos números es 10 ⇒ x - y = 10 3. El producto de dos números es 10 ⇒ x . y = 10 4. El cociente de dos números es 8 ⇒ x / y = 8 5. La suma de los cuadrados de dos números es 100 ⇒ x2 + y2 = 100 6. La diferencia de los cuadrados de dos números es 64 ⇒ x2 - y2 = 64 7. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 10 ⇒ x2 + y2 = 100 8. La suma de dos números consecutivos es 20 ⇒ x + (x + 1) = 20 9. La suma de tres números consecutivos es 30 ⇒ x + (x + 1) + (x + 2) = 30 10. La suma de dos números impares consecutivos es 32 ⇒ 2x + 1 + 2x + 3 = 32 11. La suma de dos números pares consecutivos es 60 ⇒ 2 + (2x + 2) = 60 12. La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 99 ⇒ 3x + (3x + 3) + (3x + 6) = 99 13. La suma de dos números proporcionales a 3 y a 4 es 35 ⇒ 3x + 4x = 35 14. El cociente entero de dos números es 3 y su resto 4 ⇒ x = 3y + 4
3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Este apartado, consistirá en la solución de las ecuaciones o sistemas de ecuaciones plantadas con el enunciado del problema, para ello se proponen algunos tipos de problemas que consideramos más frecuentes y asequibles a los conocimientos de los alumnos del curso.
TIPOS DE PROBLEMAS
1. Problemas sobre números.
2. Problemas de geometría.
3. Problemas sobre edades.
4. Problemas sobre magnitudes.
5. Problemas sobre móviles.
6. Problemas sobre mezclas.
PROBLEMA SOBRE NÚMEROS
Ejemplo N°1: Determinar dos números pares consecutivos cuyo producto es 2024.
1. Elegimos las incognitas: Primer número = 2x. ⇒ Por se el primer número par. Segundo numero = 2x + 2. ⇒ Por se el consecutivo de un número par. 2. Planteamos las ecucioenes: Como su producto es 2024, entonces: (2x) . (2x + 2) = 2.024 ⇒ Aplicadno propiedad distributiva. 3. Resolvemos las ecuaciones: 4x2 + 4x - 2024 = 0 ⇒ Transponiendo términos. x2 + x - 506 = 0 ⇒ Dividiendo por 4 obtenernos. (x + 23)(x - 22 ) = 0 ⇒ Factorizando. x + 23 = 0 o x - 22 = 0 ⇒ Resolviendo la ecuación x = -23 x = 22 ⇒ Soluciones x = 22, x = -23
Puesto que el enunciado no indica si se trata de números naturales o enteros se pueden admitirlas dos soluciones.
4. Comprobamos las soluciones:
Para x= 22 se tienen los números: 44, 46
Para x= -23 se tienen los números: -46, -44
PROBLEMA DE GEOMETRÍA
Ejemplo N°2: Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es 60 m y su área 200 m2.
1. Elegimos las incognitas: Lado menor = x. Lado mayor = y. 2. Planteamos las ecucioenes: Como su producto es 2024, entonces: perímetro ⇒ 2x + 2y = 60 ⇒ Ecuación 1. Área ⇒ x . y = 200 ⇒ Ecuación 2. 3. Resolvemos las ecuaciones: x . y = 200 ⇒ Despejando y en ecuación 2. y = 200 / x ⇒ Ecuación 3. 2x + 2(200/x) = 60 ⇒ Reemplazando la ecuación 3 en la ecuación 1. 2x + 400 / x = 60 ⇒ Operando 2x2 + 400 = 60x ⇒ Transponiendo términos 4x2 - 60(2x) + 800 = 0 ⇒ Factorizando (2x - 40 )(2x - 20) = 0 (x - 20 )(2x - 20) = 0 x - 20 = 0 o 2x - 20 = 0 x = 20 o x = 10 ⇒ Soluciones x = 20, x = 10
Se pueden admitirlas las dos soluciones, es decir si x = 10 entonces y = 20 pero si x = 20 entonces y = 10, pero inicialmente digimos qeu x era el lado menor por lo tanto x = 10, y y = 20
4. Comprobamos las soluciones:
Para x = 10, y = 20 perimetro 2(10) + 2(20) = 60 ⇒ 20 + 40 = 60 ⇒ 60 = 60
Area base x altura ⇒ 20 x 10 = 200 ⇒ 200 = 200
PROBLEMA SOBRE EDADES
Ejemplo N°3: Un padre tiene 39 años y su hijo 15. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era triple de la edad del hijo? .
1. Elegimos las incognitas: Edad del padre = 39. Edad del hijo = 15. Tiempo transcurrido = t. 2. Planteamos las ecucioenes: Ecuación 39 - t = 3(15 - t) ⇒ Ecuación 1. 3. Resolvemos las ecuaciones: 39 - t = 3(15 - t) ⇒ Ecuación. 39 - t = 45 - 3t ⇒ Multiplicando. 3t - t = 45 - 39 ⇒ Transponiendo términos. 2t = 6 ⇒ Operando t = 6 / 2 ⇒ Despejando t. t = 3 ⇒ Simplificando t = 3 ⇒ Solución.4. Comprobamos las soluciones:
Edad del padres = 39. Edad del hijo = 15. Edad del padres - Tiempo transcurrido = 3 . (Edad del hijo - tiempo transacurrido) 39 - 3 = 3(15 - 3) ⇒ 36 = 3(12) ⇒ 36 = 36
PROBLEMA DE FÍSICA (PALANCAS)
Ejemplo N°4: los extremos de una palanca apoyada en un punto penden dos cuerpos de 35 k y 25 k de peso respectivamente. El peso de 35 k actúa a una distancia del punto de apoyo de 20 cm. Para que el sistema se encuentre en equilibrio (palanca horizontal), ¿a qué distancia del punto de apoyo debe situarse el peso de 25 k? Se considera que la palanca carece de peso propio.
4. Comprobamos las soluciones:1. Elegimos las incognitas: Distancia del punto de apoyo al extremo izquierdo = x. 2. Planteamos las ecucioenes: Por la ley de las palancas, que relaciona potencia, brazo y resistencia, sabemos que: 
Potencia x brazo = resistencia Luego, Primer cuerpo: R1 = 35 · 20 Segundo cuerpo: R2 = 25 · x Para que el sistema este en equilibrio R1 = R2 Ecuación 35 . 20 = 25 . x ⇒ Ecuación 1. 3. Resolvemos las ecuaciones: 35 . 20 = 25 . x ⇒ Ecuación. 700 = 25x ⇒ Multiplicando. 700 / 25 = x ⇒ Despejando x. 28 = x ⇒ Simplificando x = 28 ⇒ Solución.
R1 = R2
35 . 20 = 25 . 28 ⇒ 700 = 700
PROBLEMA SOBRE MÓVILES
Ejemplo N°5: Un tren sale de Bogotá en dirección a Medellín a las 10 de la mañana, a 30 km/h. Dos horas después sale otro tren detrás de él a 40 km/h. ¿A qué distancia de Bogotá alcanzará el segundo al primero y a qué hora? .
4. Comprobamos las soluciones:1. Elegimos las incognitas: Distancia desde Bogotá al punto de encuentro = x. 2. Planteamos las ecucioenes: Es evidente que el espacio x recorrido por los dos trenes hasta el punto de encuentro es el mismo; por tanto, utilizaremos la fórmula: 
Velocidad x Tiempo = Espacio Luego, Primer móvil: 30 . t = x ⇒ Ecuación 1. Segundo móvil: 40 . (t - 2) = x ⇒ Ecuación 2. Igualando la Ecuación 1 y la Ecuación 2 tenemos: 30 . t = 40 (t - 2) = ⇒ Ecuación 3. 3. Resolvemos las ecuaciones: 30 . t = 40 . (t - 2) ⇒ Ecuación. 30t = 40t - 80 ⇒ Multiplicando. 80 = 40t - 30t ⇒ Transponiendo términos. 80 = 10t ⇒ Despejando t 80 / 10 = t ⇒ Simplificando 8 = t ⇒ Solución
Primer móvil: 30 . t = x ⇒ 30 . (8) = x ⇒ 240 = x
Segundo móvil: 40 . (t - 2) = x ⇒ 40 . (8 - 2) = x ⇒ 40 - 6 = x ⇒ 240 = x
Respuesta 1: A que distancias de Bogotá se encuentran los dos móviles: A 240 Kilómetros.
Respuesta 2: Transcurridas cuantas horas se encuentran los dos móviles:
Primer móvil: 30.t = x
t = 240 /30
t = 8 horas.
Transcurridas 8 horas los dos móviles se encuentran
PROBLEMA SOBRE MEZCLAS
Ejemplo N°6: Con dos clases de café de 9 euros y 12 euros el kg se quiere obtener una mezcla de 10 euros kg. Hallar la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla. .
1. Elegimos las incognitas: Cantidad de café de baja calidad (9 euros) = x. Cantidad de café de alta calidad (12 euros) = y. 2. Planteamos las ecucioenes: Para obtener 30 kg en total de la mezcla, tendiramos x + y = 30 ⇒ Ecuación 1. Para obtener 30 kilogramos de la mezcla a 10 euros el kilogramos, tendriamos 9x + 12y = 30 . 10 ⇒ Ecuación 2. Luego tendríamos le sistema 2 x 2 x + y = 30 ⇒ Ecuación 1. 9x + 12y = 30 . 10 ⇒ Ecuación 2. 3. Resolvemos las ecuaciones: y = 30 - x Ecuación 3 ⇒ Despejando y en la Ecuación 1 9x + 12(30 - x) = 300 ⇒ Reemplazando la Ecuación 3 en La Ecuación 2. 9x + 360 - 12x = 300 ⇒ Multiplicando. 360 - 300 = 12x - 9x ⇒ Transponiendo términos. 60 = 3x ⇒ Despejando x. 60 / 3 = x ⇒ Simplificando. 20 = x ⇒ Solución Reemplanzando x = 20 en Ecuación 3. y = 30 - 20 ⇒ y = 10. Por lo tanto las soluciones son x = 20 y y = 10 Es decir necesitamos 20 kilogramos de café de 9 euros y 10 kilogramos de café de 12 euros.4. Comprobamos las soluciones:
Comprobemos la primera ecuación
x + y = 30 ⇒ Ecuación 1.
20 + 10 = 30
30 = 30
Comprobemos la segunda ecuación
9(20) + 12(10) = 300 ⇒ Ecuación 2.
180 + 120 = 300
300 = 300
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los siguientes 10 ejercicios de resolución de problemas, debes seleccionar la respuesta que consideres correcta y luego para saber si tu respuesta es CORRECTA o INCORRECTA debes presionar el BOTÓN COMPROBAR.. Al finalizar los ejercicios aparecerá el número total de respuestas correctas e incorrectas que obtuviste en todo el ejercicio.
TOTAL DE PREGUNTAS CORRECTAS:
TOTAL DE PREGUNTAS INCORRECTAS:
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