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PREGUNTAS Y SOLUCION

RAZONES Y PROPORCIONES


RAZONES

Definición: Es la comparación de las medidas de dos magnitudes expresadas en las mismas unidades.

Ejemplo N° 1

Las edades de Carlos y Lorena son 30 y 15 años respectivamente.

Es evidente que la edad de Carlos es mayor que la edad de Lorena y para expresarlo matemáticamente, comparamos las edades de dos formas: 
  1. La sustracción  (Razón Aritmética).  
  2. La División   (Razón  Geométrica).

1. Razón Aritmética :.
Diferencia
Razón
30 años - 15 años =
15

Carlos es 15 años mayor que Lorena, o Lorena es 15 años menor que Carlos.


2. Razón Geométrica :.
Cociente
Razón
30 / 15 =
2 / 1 =
2

Las edades están en razón o relación de 2 a 1.

Esto quiere decir que por Cada 2 año de Carlos, Lorena tiene 1 año

Cociente
Razón
15 / 30 =
1 / 2 =
0.5

Las edades están en razón o relación de 1 a 2.

Esto quiere decir que por Cada 1 año de Lorena, Carlos tiene 2 años.

En ambos casos las edades 30 años y 15 años se denominan antecedentes y consecuentes respectivamente.



Ejemplo N° 2

La producción de una fotocopiadora es de 4500 copias por hora y la de una impresora es de 900 hojas por hora. La razón geométrica de sus producciones por hora es:


Las copias están en razón o relación de 5 a 1.

Esto quiere decir que por Cada 5 copias que saca la fotocopiadora, la impresora saca 1 copia.

PROPORCIONALIDAD

NOTA: Recuerda que: Una magnitud es una propiedad física que se puede medir.

Definición: Una proporción es una igualdad entre dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor. Si las razones iguales son a/b y c/d, entonces la proporción se denota por:

se lee “a es a b como c es a d”.

a y d son los extremos, b y c son los medios de la proporción.


Propiedad Fundamental:


En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.


De toda proporción pueden derivarse las proporciones:



Tipos de proporionalidad: 

   1. Proporcionalidad Directa.
   2. Proporcionalidad Indirecta.
   3. Proporcionalidad Compuesta.

NOTA: Existen tres métodos para resolver los problemas de proporcionalidad. 
   1. Aplicando las propiedades.
   2. Hallando la razón. 
   3. Hallando la constante de proporcionalidad.



EJERCICIOS RESUELTOS




Ejemplo N° 1
La relación entre hombre y mujeres en una reunión familiar es de 7 a 5. Si se cuentan 35 hombres ¿Cuántas mujeres hay?

Método N°1 - Aplicando las propiedades :.


Método N°2 - Hallando la Razón :.


Método N°3 - Hallando la Constante de Proporcionalidad :.


Luego, reemplazamos le valor de la constante de proporcionaliad en el otro dato (Consecuente)




Ejemplo N° 2
Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros?

Método N°1 - Aplicando las propiedades :.


Método N°2 - Hallando la Razón :.


Método N°3 - Hallando la Constante de Proporcionalidad :.


Luego, reemplazamos le valor de la constante de proporcionaliad en el otro dato (Consecuente)




Ejemplo N° 3
La relación entre dos números es de 3 a 4, si la suma de sus cuadrados es 625, hallar el mayor.

Método N°3 - Hallando la constante de proporcionalidad :.

Es obvio que no se pueden aplicar los métodos N°1 y N°2 puesto que necesitamos conocer 3 datos y en este caso solo tenemos 2, por tal motivo aplicaremos el método N° 3.


Con esta última ecuación hallemos la constante de proporcionalidad k


Reemplazamos el valor de la constante k, tanto en el antecedente (3k) como en le concecuente (4k) para hallar los números a y b.




Ejemplo N° 4
La relación entre dos números es de 3 a 4, si la suma de sus cuadrados es 625, hallar el mayor.

Método N°3 - Hallando la constante de proporcionalidad :.

Es obvio que no se pueden aplicar los métodos N°1 y N°2 puesto que necesitamos conocer 3 datos y en este caso solo tenemos 2, por tal motivo aplicaremos el método N° 3.


Con la ecuación anterior hallemos la constante de proporcionalidad k


< Reemplazamos el valor de la constante k, tanto en el antecedente (7k) como en le concecuente (3k) para hallar los números a y b.


Finalmente nos piden hallar a + b, reemplazando tenemos: 
 a + b =   427 + 183         ⇒        a + b =   610




1. Proporcionalidad Directa:

Directa: Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas la otra también aumenta o disminuye el mismo número de veces 
    Propiedad fundamental: 
       
    Dos cantidades serán directamente proporcionales si y solo si el cociente entre ellas es 
    una constante (constante de proporcionalidad).

y / x = k


Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales 
  1.  Entre más cantidad de artículos compre, mayor es el precio a pagar.
  2.  Entre más pesado sean las frutas, más se pagará (pago por kg).
  3.  A más kilómetros recorridos, mayor el precio del taxi.
  4.  A mayor energía eléctrica gastada, mayor será el total a pagar por el servicio.
  5.  A mayor cantidad de días, transcurren más horas.
  6.  Si hay más animales en un granja, se necesita más alimento.
  7.  Si van a comer más personas, hay que hacer más arroz.
  8.  Si se reparte una cantidad directamente a las edades de una persona, recibirá más el mayor.
  9.  Entre más tiempo nos alojemos en un hotel, más hay que pagar.
 10.  Entre más caro sea un objeto, mayor el el valor de su IVA.

2. Proporcionalidad Inversa:

Inversa: Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir la primera cantidad, la segunda por el contrario disminuye o aumenta el mismo número de veces. 
     Propiedad fundamental: 
       
     Dos cantidades serán inversamente proporcionales si y solo si el producto  entre ellas  
     es igual a una cantidad constante (potencia de inversión).

y . x = k


Ejemplos de magnitudes inversatamente proporcionales 
   1. Entre más velocidad lleva un auto, menor será el tiempo para llegar.
   2. Entre mayor cantidad de trabajadores, el tiempo es menor para hacer una obra. 
   3 .Entre más horas se use el celular, la batería se descarga más rápido.
   4. Entre mayor la cantidad de personas, menor es la porción que le corresponde a cada uno.
   5. Con mayor fuerza, menor es el esfuerzo requerido.
   6. La presión es mayor si el área disminuye.
   7. Entre más horas use el gas de cocina, disminuye el volumen del gas en la bombona.   
   8. Si se reparte inversamente proporcional a las edades de una persona, recibirá más el menor.
   9. Con mayor cantidad de grifos abiertos, menor es el tiempo de llenado.
  10. Entre más fotos tomemos en un cámara, menor cantidad de memoria habrá disponible.
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3. Proporcionalidad Compuesta:

Compuesta: Es una combinación de las proporciones directa e inversa, pueden darse tres casos: 
1. Directa - Directa
2. Inversa  - Inversa
3. Directa - Inversa  →  (Mixta)    
4. Inversa - Directa  →  (Mixta)


EJERCICIOS PROPUESTOS


En los siguientes 10 ejercicios de razones y proporciones, debes seleccionar la respuesta que consideres correcta y luego para saber si tu respuesta es CORRECTA o INCORRECTA debes presionar el BOTÓN COMPROBAR.. Al finalizar los ejercicios aparecerá el número total de respuestas correctas e incorrectas que obtuviste en todo el ejercicio.

Ejemplo N° 1
RAZONES Y PROPORCIONES
Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. Hallar el número menor.
A
60.
B
120.
C
180.
D
240.


Ejemplo N° 2
RAZONES Y PROPORCIONES
Dos números son entre si como 5 es a 3 y su suma es 120. Hallar el número mayor.
A
36.
B
48.
C
60.
D
75.


Ejemplo N° 3
RAZONES Y PROPORCIONES
Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuantos años sus edades estarán en la relación de 7ª 6?.
A
10.
B
12.
C
15.
D
18.


Ejemplo N° 4
RAZONES Y PROPORCIONES
Mario tiene 38 años y Jesica 24 años. ¿hace cuantos años sus edades fueron como 2 a 1?.
A
6.
B
8.
C
10.
D
12.


Ejemplo N° 5
RAZONES Y PROPORCIONES
En una caja se tienen 140 bolas, 80 blancas y el resto azules, ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancas por cada 6 bolas azules?.
A
10.
B
20.
C
30.
D
40.


Ejemplo N° 6
RAZONES Y PROPORCIONES
En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres, se llegaron 10 hombres y 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. Determinar cuántas personas habían inicialmente en la reunión.
A
24.
B
32.
C
42.
D
48.


Ejemplo N° 7
RAZONES Y PROPORCIONES
Determina el consecuente de una razón cuyo valor es 5 / 8 y el antecedente es 4 //9.
A
32 / 45.
B
45 / 32.
C
18 / 15.
D
8 / 25.


Ejemplo N° 8
RAZONES Y PROPORCIONES
En una razón e consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determina el antevente.
A
1.
B
2.
C
3.
D
4.


Ejemplo N° 9
RAZONES Y PROPORCIONES
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es de 5:3. Calcula el área del rectángulo.
A
192.
B
320.
C
640.
D
960.


Ejemplo N° 10
RAZONES Y PROPORCIONES
Dos números enteros están en la razón de 2 : 7. Si la suma de ellos es -36, ¿cuáles son los números?.
A
8 y 28.
B
– 4 y 40.
C
- 8 y -28.
D
6 y -30.


TOTAL DE PREGUNTAS CORRECTAS:                                 TOTAL DE PREGUNTAS INCORRECTAS:

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