DEFINICIÓN INTUITIVA DE LIMITE:
| Si a y L son números, la expresión |
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Se lee, limite cuando x tiende a a de f(x) es L. |
NOTA:Si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y además es UNICO.
El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y es imprescindible para dar solución a problemas tales como:
- calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.
- hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado.
- determinar el área limitada por una curva.
EJEMPLOS N° 1:
Dada la función f(x) = x2 - 3x ¿cómo se comportan los valores de la función cuando se aproxima a x = -1 ? en otras palabras, ¿qué sucede con f(x) cuando x tiende a –1 ?
Para ello, elaboramos de una tabla donde donde se calculan las imágenes de los valores de x que consideramos próximos a x:
Seleccionemos unos valores de x cerca a -1 por la izquierda y por la derecha:
Evaluemos estos valores en la función f(x) para hallar su imagen:
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Se lee de la siguiente manera: "El límite de la función f(x) = (x2 - 3x) cuando x tiende a -1 es 4." y simbólicamente lo representamos de la siguiente manera:
GRÁFICAMENTE
NOTAS:
No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1.
¿No es posible calcular el valor de la función en x = -1 y evitar la construcción de la tabla?
En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x = -1.
f(-1) = (-1)2 - 3.(-1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede para todas las funciones.
EJEMPLOS N° 2:
Dada la función f(X) = (x - 2) / (x - 1) ¿cómo se comportan los valores de la función cuando se aproxima a x = 1 ? en otras palabras, ¿qué sucede con f(x) cuando x tiende a 1 ?
Para ello, elaboramos de una tabla donde donde se calculan las imágenes de los valores de x que consideramos próximos a x:
Seleccionemos unos valores de x cerca a 1 por la izquierda y por la derecha:
Evaluemos estos valores en la función f(x) para hallar su imagen:
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Se lee de la siguiente manera: "El límite de la función f(x) = (x - 2) / (x - 1) cuando x tiende a 1 NO EXISTE." y simbólicamente lo representamos de la siguiente manera:
EJEMPLOS N° 1:
EJEMPLOS N° 2:
EJEMPLOS N° 3:
EJEMPLOS N° 4:
EJERCICIOS PROPUESTOS::
Elaborar una tabla de valores y hallar el límite si existe, de las siguientes expresiones.
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