DERIVADA
La derivada de una función f(x) la representamos como f´(x) y la definimos como aparece en la siguiente expresión;
Si usamos la notación tradicional y f´(x) para indicar que la variable independiente es x y la variable dependiente es y, entonces algunas notaciones alternativas comunes para la derivada son como sigue:
Los símbolos D y d/dx se denominan operadores diferenciales porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada.
El símbolo dy/dx, que fue introducido por Leibniz, no debe ser considerado como una división (por ahora); es simplemente un sinónimo de f´(x). Sin embargo, es una notación muy útil y sugerente, en especial cuando se usa en conjunción con notación de incrementos.
Podemos reescribir la definición de derivada en notación de Leibniz en la forma:
DERIVADA EN UNA FUNCIÓN
Puesto que sustituir h por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada por definición puede no ser en algunas ocasiones una tarea fácil. Una técnica posible consiste en operar el numerador, de manera que se pueda cancelar la h del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
Utilizamos la definición para hallar la derivada de algunas funciones:EJEMPLO N° 1: Hallar la derivada de la función f(x) = 3x + 2.
PASO N° 1: Aplicamos la definición de derivada, en la primera parte reemplazamos la x por (x + h).
PASO N° 2: Operamos algebraicamente aplicando las distintas propiedades.
PASO N° 3: Simplificamos términos semejantes.
PASO N° 4: Sacamos factor común, cancelamos la indeterminación 0/0 y evaluamos el límite.
PASO N° 5: Expresamos simbólicamente la derivada de la función
EJEMPLO N° 2: Hallar la derivada de la función f(x) = x2 - 1.
PASO N° 1: Aplicamos la definición de derivada, en la primera parte reemplazamos la x por (x + h).
PASO N° 2: Operamos algebraicamente aplicando las distintas propiedades.
PASO N° 3: Simplificamos términos semejantes.
PASO N° 4: Sacamos factor común, cancelamos la indeterminación 0/0 y evaluamos el límite.
PASO N° 5: Expresamos simbólicamente la derivada de la función
EJEMPLO N° 3: Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 2x + 1.
PASO N° 1: Aplicamos la definición de derivada, en la primera parte reemplazamos la x por (x + h).
PASO N° 2: Operamos algebraicamente aplicando las distintas propiedades.
PASO N° 3: Simplificamos términos semejantes.
PASO N° 4: Sacamos factor común, cancelamos la indeterminación 0/0 y evaluamos el límite.
PASO N° 5: Expresamos simbólicamente la derivada de la función
EJEMPLO N° 1
EJEMPLO N° 2
EJEMPLO N° 3
Calcula, mediante la definición, la derivada de las siguientes funciones.
¡EXCELENTE!
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