PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

DEFINICIÓN:

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior dividido por un número fijo llamado razón que se representa por la letra r.

Como saber si una sucesión es una progresión geométrica: si dividiendo dos términos consecutivos el resultado es siempre una constante.

EJEMPLO N° 1:  

Dada la sucesión a_n = { 2, 4, 8. 16. 32. 64. 128, ... 2ⁿ } decir si es una progresión Geométrica o no ?:

Para que sea una progresión geométrica, si dividimos dos términos consecutivos tiene que dar una constante:

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

16 ÷ 8 = 2

32 ÷ 16 = 2

64 ÷ 32 = 2

La sucesión a_n = { 2, 4, 8. 16. 32. 64. 128, ... 2ⁿ}, SI ES UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA y r = 2.

TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA  
Si conocemos el 1^er término de una sucesión geométrica y su razón, podemos establecer cada uno de los términos que conforman la sucesión de la siguiente manera:

EJEMPLO N° 2:  

Dada la sucesión a_n, cuyo primer elemento es a₁ = 3 y cuya rezón es r = 2, Hallar los términos de la sucesión.

a_n = {3,    3 x 2,    6 x 2,    12 x 2,    24 x 2, … }
a_n = {3,    6,    12.   24,    48,    96,    192, … ,2ⁿ} EJEMPLO N° 3:  

Dada la sucesión a_n, cuyo primer elemento es a₁ = 1 y cuya razón es r = 3, Hallar los términos de la sucesión.

a_n = {1,     1 x 3,    3 x 3,    9 x 3,    27 x 3, … }
a_n = {1,    3,    9.   27,    81, … , 3^{n - 1}}

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Si conocemos el 1^er término de una sucesión geométrica y su razón, podemos establecer el término general de la sucesión mediante la siguiente fórmula:

an = a1 . r(n - 1)

Donde,

r = la razón entre dos términos consecutivos.
a₁ = Primer término de la sucesión.
n = n - esimo término.

NOTA: la razón r, se obtiene dividiendo dos términos consecutivos, r = a_{n + 1} ÷ a_n

EJEMPLO N° 4:  

Dada la sucesión a_n = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... }, Hallar el término general.

PASO N° 1: Verificamos si es una progresión geométrica

2 ÷ 1 = 2

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

16 ÷ 8 = 2

32 ÷ 16 = 2

Si es una progresión geométrica cuya razón r = 2.
PASO N° 2: Especifiquemos el valor de a₁ y r:

          a₁ = 1
          r = a₂ ÷ a₁             →             r = 2 ÷ 1             →             r = 2

PASO N° 3:     Apliquemos la formula     a_n = a₁ . r ^{n - 1} .

          a_n = 1 . 2 ^{n - 1}             →             a_n = 2 ^{n - 1}             →             a_n = 2 ^{n - 1}.

PASO N° 4: Reescribimos la progresión aritmética con todos sus términos incluyendo el término general a_n.

a_n = { 1, 2, 4. 8, 16 , 32, 64, ... 2 ^{n - 1} }

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EJERCICIOS RESUELTOS
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EJEMPLO N° 1:  



EJEMPLO N° 2:  



EJEMPLO N° 3:  



EJEMPLO N° 4:  



EJERCICIOS PROPUESTOS 

1. an = {3, -9, 27, -81,… }

2. an = {-2, 10, -50, 250,… }

3. an = {27, 9, 3, 1,… }

4. an = {1 4, 16, 64,… } APLICACIONES  

1. En una progresión geométrica los termino a₆ = 4 y a₇ = 8, hallar los cinco primeros términos. La razón y su término general.

2. En una progresión geométrica a₁ = 3 y r = 2, hallar el término de la posición n = 10. Sol: 1536

3. El primer día de funcionamiento, una bomba de extracción de agua saca la mitad del líquido de un depósito. Si el depósito tiene inicialmente 4096 litros y en los días siguientes la bomba extrae siempre la mitad del líquido que quedó el día anterior. Determine la cantidad de líquido que ha quedado el quinto día.

4. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su suma vale 26 y su producto 216.

5. Una determinada bacteria se reproduce por bipartición cada 10 minutos, es decir, cada bacteria se divide en dos cada 10 minutos. ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 8 horas?

6. Una máquina costó $4.500.000. Se calcula que al final de cada año sufre una depreciación igual al 5% del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál será su valor al cabo de 15 años? Rta: 2194537

7. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estas dimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m3. Rta: a1 = 5, a2 = 20 a3 = 80