DEFINICIÓN:
Como saber si una sucesión es una progresión aritmética: si restando dos términos consecutivos el resultado es siempre una constante. EJEMPLO N 1:
Dada la sucesión an = { 2, 5, 8. 11. 14. 17. 20, ... 3n - 1 } decir si es una progresión Aritmética o no ?:
Para que sea una progresión aritmética, si restamos dos términos consecutivos tiene que dar una constante:
La sucesión an = { 2, 5, 8. 11. 14. 17. 20, ... 3n - 1 }, ES UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA y d = 3.
TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Si conocemos el 1er término de una sucesión aritmética y su diferencia, podemos establecer cada uno de los términos que conforman la sucesión de la siguiente manera:
EJEMPLO N° 2:
Dada la sucesión an, cuyo primer elemento es a1 = 2 y cuya diferencia es d = 2, Hallar los términos de la sucesión.
an = {2, 2 + 2, 4 + 2, 6 + 2, 8 + 2, … }
an = {2, 4, 6. 8, 10, 12, 14, … ,2n}
EJEMPLO N° 3:
Dada la sucesión an, cuyo primer elemento es a1 = -1 y cuya diferencia es d = 3, Hallar los términos de la sucesión.
an = {-1, -1 + 3, 2 + 3, 5 + 3, 8 + 3, … }
an = {-1, 2, 5. 8, 11, 12, 14, … ,3n - 4}
TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Si conocemos el 1er término de una sucesión aritmética y su diferencia, podemos establecer el término general de la sucesión mediante la siguiente fórmula:
Donde,
d = la diferencia entre dos términos consecutivos.
a1 = Primer término de la sucesión.
n = n - esimo término.
NOTA: la diferencia d, se obtiene restando dos términos consecutivos, d = an + 1 - an
EJEMPLO N° 4:
Dada la sucesión an = { 1, 3, 5, 7, 9 11, 13, ... }, Hallar el término general.
PASO N° 1: Verificamos si es una progresión aritmética
Si es una progresión aritmética cuya diferencia d = 2.
PASO N° 2: Especifiquemos el valor de a1 y d:
a1 = 1
d = a2 - a1 → d = 3 - 1 → d = 2
PASO N° 3: Apliquemos la formula an = a1 + (n - 1) . d
an = 1 + (n - 1) . 2 → an = 1 + 2n - 2 → an = 2n - 1
PASO N° 4: Reescribimos la progresión aritmética con todos sus términos incluyendo el término general an.
an. = { 1, 3, 5. 7, 9 , 11 , 13 ... 2n -1 }
EJERCICIOS RESUELTOS
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EJEMPLO N° 1:
EJEMPLO N° 2:
EJEMPLO N° 3:
EJEMPLO N° 4:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. an = {3, 6, 9, 12, 15, … } Sol:: 3n
2. an = {2, 1, 0, -1, -2, … } Sol: n + 1
3. an = {1, 4, 7, 10, 13, … } Sol: 3n
4. an = {2, 4, 6, 8, 10, … } Sol: 2n
5. an = {-3, -2, -1, 0, 1, … } Sol: n - 4
6. an = {0, 5, 10, 15, 20, … } Sol: 5n
APLICACIONES
1. Calcula tres números en progresión aritmética sí su suma es igual a 18 siendo el menor 3. Sol: 3 – 6 - 9
2. Un pentágono cuyo perímetro es de 40 cm tiene sus lados en progresión aritmética. Sabiendo que el lado mayor es de 12 cm, ¿sabrías decir cuál es la medida del lado menor? Sol. 12 – 10 – 8 – 6 - 4
3. En un examen las preguntas estaban ordenadas según dificultad. La primera valía dos puntos y cada una de las restantes valía 3 puntos más que la anterior. Si en total cuentan 40 puntos, ¿Cuántas preguntas tenía el examen? Sol: 5
4. Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética, si el más pequeño mide 40º ¿cuál es la medida de los otros dos? Sol: 40 – 60 - 80
5. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? Sol: 146
6. Con cerillas se han construido las figuras.
a) ¿Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con 15 hexágonos? a. Sol: 76
b) ¿Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con n hexágonos? b. Sol 5n + 1
7. La población de una ciudad aumenta en 3500 cada 1 año. Si su población en el año 2000 era de 10000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2010? Sol: 45.000
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Como saber si una sucesión es una progresión aritmética: si restando dos términos consecutivos el resultado es siempre una constante. EJEMPLO N 1:
Dada la sucesión an = { 2, 5, 8. 11. 14. 17. 20, ... 3n - 1 } decir si es una progresión Aritmética o no ?:
Para que sea una progresión aritmética, si restamos dos términos consecutivos tiene que dar una constante:
Si conocemos el 1er término de una sucesión aritmética y su diferencia, podemos establecer cada uno de los términos que conforman la sucesión de la siguiente manera:
EJEMPLO N° 2:
Dada la sucesión an, cuyo primer elemento es a1 = 2 y cuya diferencia es d = 2, Hallar los términos de la sucesión.
Dada la sucesión an, cuyo primer elemento es a1 = -1 y cuya diferencia es d = 3, Hallar los términos de la sucesión.
Si conocemos el 1er término de una sucesión aritmética y su diferencia, podemos establecer el término general de la sucesión mediante la siguiente fórmula:
|
|
d = la diferencia entre dos términos consecutivos.
a1 = Primer término de la sucesión.
n = n - esimo término.
NOTA: la diferencia d, se obtiene restando dos términos consecutivos, d = an + 1 - an
EJEMPLO N° 4:
Dada la sucesión an = { 1, 3, 5, 7, 9 11, 13, ... }, Hallar el término general.
PASO N° 1: Verificamos si es una progresión aritmética
Si es una progresión aritmética cuya diferencia d = 2.
PASO N° 2: Especifiquemos el valor de a1 y d:
a1 = 1
d = a2 - a1 → d = 3 - 1 → d = 2
PASO N° 3: Apliquemos la formula an = a1 + (n - 1) . d
an = 1 + (n - 1) . 2 → an = 1 + 2n - 2 → an = 2n - 1
PASO N° 4: Reescribimos la progresión aritmética con todos sus términos incluyendo el término general an.
EJEMPLO N° 1:
EJEMPLO N° 2:
EJEMPLO N° 3:
EJEMPLO N° 4:
1. an = {3, 6, 9, 12, 15, … } Sol:: 3n
2. an = {2, 1, 0, -1, -2, … } Sol: n + 1
3. an = {1, 4, 7, 10, 13, … } Sol: 3n
4. an = {2, 4, 6, 8, 10, … } Sol: 2n
5. an = {-3, -2, -1, 0, 1, … } Sol: n - 4
6. an = {0, 5, 10, 15, 20, … } Sol: 5n
1. Calcula tres números en progresión aritmética sí su suma es igual a 18 siendo el menor 3. Sol: 3 – 6 - 9
2. Un pentágono cuyo perímetro es de 40 cm tiene sus lados en progresión aritmética. Sabiendo que el lado mayor es de 12 cm, ¿sabrías decir cuál es la medida del lado menor? Sol. 12 – 10 – 8 – 6 - 4
3. En un examen las preguntas estaban ordenadas según dificultad. La primera valía dos puntos y cada una de las restantes valía 3 puntos más que la anterior. Si en total cuentan 40 puntos, ¿Cuántas preguntas tenía el examen? Sol: 5
4. Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética, si el más pequeño mide 40º ¿cuál es la medida de los otros dos? Sol: 40 – 60 - 80
5. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? Sol: 146
6. Con cerillas se han construido las figuras.
b) ¿Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con n hexágonos? b. Sol 5n + 1
7. La población de una ciudad aumenta en 3500 cada 1 año. Si su población en el año 2000 era de 10000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2010? Sol: 45.000
Gracias por la información. Sucesiones.
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