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PREGUNTAS Y SOLUCION

MEZCLAS


Hablamos de mezcla, cuando existe la unión de dos o más sustancias (ingredientes), en cantidades diferentes; que manteniendo su naturaleza, se cumple que: la suma de las cantidades mezcladas, son iguales a la cantidad de la mezcla.

CASOS QUE SE PRESENTAN 
    1.  Mezcla de sustancias de diferentes precios. 
    2.	Regla inversa de sustancias de diferente precio. 
    3.	Mezclas alcohólicas. 
    4.	Regla inversa de Mezclas Alcohólicas.

1. MEZCLAS DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES PRECIOS


En este tipo de problemas lo que buscamos, es el precio al que se debe de vender una mezcla de dos o más productos de distinto valor; de manera que al final, no se gane ni se pierda.

Precio Medio (Pm) o Precio Promedio (Pm)

Organizando los datos en una tabla: 
CA: Cantidad de la sustancia A		CB: Cantidad de la sustancia B
PA: Precio de la sustancia A		PB: Precio de la sustancia B

Cantidad Precio Costo
Sustancia A CA PA CA.PA
Sustancia B CB PB CB.PB
Mezcla CA + CB Pm CA.PA + CB.PB Costo Total
Cabtidad Total

La Cantidad Total (CA + CB) multiplicada por el Precio Promedio (Pm) = Precio Total (CA.PA + CB.PB)

(CA + CB).Pm

=

CA.PA + CB.PB

Cantidad Total
Costo Total

Despejano Pm tenemos:


CONSIDERACIONES 
   1.  Precio Menor < Pm < Precio Mayor.

   2.  Si en la mezcla intervienen n sustancias, entonces: 
                
Pm = (C1.P1 + C2.P2 + ⋯ + Cn.Pn) / (C1 + C2 + ⋯ + Cn)

   3.  Si en una mezcla intervienen el agua, por convención su precio es despreciable (0).
 
   4.  Si se desea vender el litro o kilogramo de mezcla ganando el x %, se tendrá que;
                              
 Precio de venta = Pm +  x%(Pm)
Ejemplo N° 1
Se mezclan 4 litros de zumo de naranja, que cuesta a 3 € / litro, con 2 litros de zumo de papaya que cuesta a 9 € / litro,. ¿A cómo sale el litro de la mezcla?

1. Creemos la tabla:

Cantiad
Precio
Costo
Zumo N
4 L
3 €
12 €/L
Zumo P
2 L
9 €
18 €/L
Mezcla
6 L
Pm
30 €/L

2. Aplicamos la formula:


AL mezclar 4 Litros de zumo de naranja con 2 litros de zumo de papaya a 3 € y 9 € euros respectivamente, cada litro de la mezcla tiene un valor de 5 €.





Ejemplo N° 2
Un barril contiene 1 Hl. de vino de alta graduación, cotizado a 3,60 €/l. Para rebajar el grado se la añaden 20 litros de agua. ¿Cuál es ahora el precio del vino?

1. Creemos la tabla:

Cantiad
Precio
Costo
Vino Alta
100 L
3,60 €
360 €/L
Agua
20 L
0 €
0 €/L
Mezcla
120 L
Pm
360 €/L

2. Aplicamos la formula:


La mezcla de 100 Litros de vino de alta con 20 litros de agua a 3,60 € y 0 € euros respectivamente, cada litro de la mezcla tiene un valor de 3 €.



Ejemplo N° 3
Un comerciante tiene: 
   • 20 Kg de azúcar  1.50 € el  Kg	
   • 30 Kg de azucar  2.00 € el  Kg
   • 20 Kg de azúcar  2.20 € el  Kg

Si los mezcla, ¿Cuál es el precio medio de la mezcla?

1. Creemos la tabla:

Cantiad
Precio
Costo
Azucae A
20 Kg
1,50 €
30 €/Kg
Azucar B
30 Kg
2,00 €
60 €/Kg
Azucar C
50 Kg
2,20 €
110 €/Kg
Mezcla
100 Kg
Pm
200 €/Kg

2. Aplicamos la formula:


Al mezclar las tres clases de azúcar el precio promedio de la mezcla, por cada kilogramo tiene un valor de 2 €.



2. REGLA INVERSA DE SUSTANCIAS DE DIFERENTES PRECIOS


Se trata de calcular las PROPORCIONES en las que intervienen las sustancias, conocidos los precios unitarios y el precio medio.

Datos:

Sean x, y las sustancias que se van a mezclar, Px: precio de la sustancia x, Py: precio de la sustancia y y Pm: precio promedio de la mezcla, entonces:


Px = Precio Unitarios x
Precio Menor (x) < Pm < Precio Mayor (y)
Py = Precio Unitarios y
Pm = Precio Medio 

   1. Al vender (x) unidades se pierde (Px  -  Pm).x 
   2. Al vender (y) unidades se gana (Pm  -  Py ).y 
   3. Ganancia aparente = Perdida aparente
Pero como en la mezcla no se gana ni se pierde, entonces las ganancias y las perdidas son IGUALES:

... Ec (1)

MÉTODO DEL ASPA


La regla del aspa permite calculara la proporción de mezcla de dos sustancias para un precio medio dado a partir de los precios de dos sustancias iniciales.



Ejemplo N° 4
Se compra aceite comestible de 3 € y 4 € el litro. ¿En qué proporción se les debe mezclar para obtener una mezcla cuyo precio de costo sea a 3.80 € el litro?

1. Extraemos los datos: 
   1.  x: Aceite de 3 € - Aceite Barato.
   2.  y: Aceite de 4 € - Aceite Costoso.
   3.  Pm = Precio Promedio = 3,80    
   4.  Perdida = Pm - Px  =  3.80 - 3 = 0,80  
   5.  Ganancia = Py - Pm = 4 - 3.80 = 0,20
2. Elaboramos el diagrama de aspas:


3. Aplicamos la ecuación (1):


Esto quiere decir que por cada 1 litro de aceite de 3 € se debe agregar 4 litros de aceite de 4 €.




Ejemplo N° 5
Se desea mezclar dos tipos de café comestible de 6 € y 9 € el litro. ¿En qué proporción se les debe mezclar para obtener una mezcla cuyo precio de costo sea a 7.50 € el litro?

1. Extraemos los datos: 
   1.  x: Aceite de 6 € - Aceite Barato.
   2.  y: Aceite de 9 € - Aceite Costoso.
   3.  Pm = Precio Promedio = 7,50    
   4.  Perdida = Pm - Px  =  7.50 - 6 = 1,50  
   5.  Ganancia = Py - Pm = 9 - 7.50 = 1,50
2. Elaboramos el diagrama de aspas:


3. Aplicamos la ecuación (1):


Esto quiere decir que por cada 1 litro de café de 6 € se debe agregar 1 litro de café de 9 €.



NOTA:
En algunos casos nos dan la cantidad total de la mezcla, cuando esto pasa debemos hallar la constante de proporcionalidad para calcular a cuanto corresponde cada sustancias.


Ejemplo N° 6
Fernando tiene 100 litros de una mezcla que contiene vino de 4 €. y de 8 € el litro. Si el precio medio dela mezcla es de 6.60 € / L. ¿Cuántos litros de vino del mas barato hay en la mezcla?


1. Extraemos los datos: 
   1.  x: Vino de 4 € - Vino Barato.
   2.  y: Vino de 8 € - Vino Costoso.
   3.  Pm = Precio Promedio = 6,60    
   4.  Perdida = Pm - Px  =  7.50 - 6 = 2,60  
   5.  Ganancia = Py - Pm = 9 - 7.50 = 1,40  
   6.  Cantidad total de la mezcla 100 Litros .
2. Elaboramos el diagrama de aspas:


Para saber de esos 4 eruos a cuantos litros de los 100 de la mezcla le corresponde a 1.4 y 2.6 euros debemos hallar la constante de proporcionalidad como se muestra a continuación:
4.k = 100    ⇒     k = 100 / 4     ⇒     k = 25     
 
A 1 eruo le corresponden 25 litros, entonces a 1,4 y 2,6 cuantos litros les corresponderá?    

          →   La cantidad de vino más barato es el de 1.4.(25) =  35 Litros.
          →   La cantidad de vino más caro es el de 2.6.(25) =  65 Litros.
3. Comprobemos: 
   1. Comprobemos si la cantidad de vino coincide:
      
       35 + 65 = 100 Litos

   2. Comprobemos si el precio de los vinos coincide:

       35 Litros del vino barato a 4 € (Precio Mezcla) = 140 €

       65 Litros del vino caro a 4 € (Precio Mezcla) = 260 €

                   140 € + 260 € = 100 Litros . 4 € 
                         
                             400 = 400


Ejemplo N° 7
Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de € 6 euros el litro y la segunda de € 7.2 euros el litro. ¿Cuántos litros de cada clase hay que poner para obtener 60 litros de mezcla a € 7 euros el litro?

1. Extraemos los datos: 
   1.  x: Aceite de 6 € - Aceite Barato.
   2.  y: Aceite de 7.2 € - Aceite Costoso.
   3.  Pm = Precio Promedio = 7,00    
   4.  Perdida = Pm - Px  =  7.00 - 6 = 1,00  
   5.  Ganancia = Py - Pm = 7.20 - 7.00 = 0,20  
   6.  Cantidad total de la mezcla 60 Litros .
2. Elaboramos el diagrama de aspas:


Para saber de esos 4 eruos a cuantos litros de los 100 de la mezcla le corresponde a 1.4 y 2.6 euros debemos hallar la constante de proporcionalidad como se muestra a continuación: 
1.20.k = 60    ⇒     k = 60 / 1.20     ⇒     k = 50     
 
A 1 eruo le corresponden 50 litros, entonces a 1,00 y 0,20 cuantos litros les corresponderá?    

          →   La cantidad de aceite más barato es el de 1.00(50) =  50 Litros.
          →   La cantidad de aceite más caro es el de 0.20.(50) =  10 Litros.
3. Comprobemos: 
   1. Comprobemos si la cantidad de vino coincide:
      
       50 + 10 = 60 Litos

   2. Comprobemos si el precio de los vinos coincide:

       50 Litros del vino barato a 1.20 € (Precio Mezcla) = 60 €

       10 Litros del vino caro a 1.20 € (Precio Mezcla) = 12 €

                   60 € + 12 € = 60 Litros . 1.20 € 
                         
                            72 = 72



3. MEZCLAS ALCOHÓLICA


Mezcla integrada por alcohol y agua, la calidad de esta mezcla lo determina el grado alcohólico.

Grado Alcohólico: Llamado también pureza alcohólica, puesto que indica el porcentaje (%) o (°) de alcohol puro que interviene en la mezcla.

CONSIDERACIONES 
   1. Grado Menor   <   Gm   <   Grado Mayor.

   2. Grado de alcohol puro equivale a 100% o 100°.

   3. Grado del agua equivale a 0°.
Cuando decimos que una sustancia contiene alcohol al 75%, alcohol de 75° ó alcohol concentrado al 75%, todas estas expresiones indican que el contenido de cada frasco está compuesto por: 
   I. 75% de alcohol puro
  II. 25 % de agua
Cantidad Precio Costo
Alcohol A VA % A VA . % A
Alcohol B VB % B VB . % B
Mezcla VA + VB Gm VA . % A + VB . % B Vol. Alcohol Puro
Volumen Total

El volumen Total (VA + VB) por el Grado medio (Gm) = Volumen de Alcohol Puro Total (VA . % A + VB . % B)

(VA + VB).Gm

=

VA . % A + VB . % B
Volumen Total
Volumen Alcohol Puro

Despejano Gm tenemos:


Ejemplo N° 8
Se mezclan 40 litros de alcohol de 50 %, con 60 litros de alcohol al 20 %. Determinar el grado de la mezcla resultante

1. Creemos la tabla:

Volumen
% Alcohol
Costo
Alcohol A
40 L
50 %
2000
Alcohol B
60 L
20 %
1200
Mezcla
100 L
Gm
3200

2. Aplicamos la formula:


AL mezclar 40 Litros del Alcohol A con 60 litros de alcohol 59 % y 20 % respectivamente, la mezcla obtenida contiene una pureza del 32 %.



4. REGLA INVERSA DE MEZCLAS ALCOHÓLICAS


Una mezcla inversa de alcohol se caracteriza por que se conocen el grado medio (Gm) y los grados parciales de las sustancias que intervienen, pero no las cantidades.

Datos:

Sean x, y las sustancias alcohólicas que se van a mezclar, Gx: Grado de alcohol de la sustancia x, Gy: Grado de alcohol de la sustancia y y Gm: Grado medio de la mezcla, entonces:

Gx = Grado de alcohol x
Grado alcohólico menor (x) < Gm < Grado alcohólico mayor (y)
Gy = Grado de alcohol y
Gm = Precio Medio

... Ec (1)


Ejemplo N° 9
Un depósito contiene 20 litros de vino al 60 %. ¿Cuantos litros de agua deben agregarse para que la pureza de la mezcla sea de 50 %?

1. Extraemos los datos: 
   1.  x: Vino  60 %  
   2.  y: Agua al 0 % ?  
   3.  Gm = Grado medio =  50 %
2. Elaboramos el diagrama de aspas:


3. Aplicamos la ecuación (1):

Como x es la cantidad de vino al 60 % y la mezcla contiene 20 Litros de vino, reemplazamos x = 20 Litos.


Esto quiere decir que se necesitan agregar 4 litro de agua al 0 % para que la pureza de al mezcla sea al 50 %



Ejemplo N° 10
Un químico tiene una mezcla al 30 % de alcohol y otra al 50 % de alcohol. ¿Cuántos litros de cada mezcla se necesitan para preparar un total de 400 litros al 45 % de alcohol?

1. Extraemos los datos: 
   1.  x: Mezcla de alcohol al 30 % - Menos Puro.
   2.  y: Mezcla de alcohol al 50 % - Mas Puro.
   3.  Gm = Grado medio = 45 %.  
   4.  Cantidad total de la mezcla 400 Litros.
2. Elaboramos el diagrama de aspas:


Esto significa que cada litro de la mezcla tiene una pureza del 20%. (0,20) 
20.k = 400    ⇒     k = 400 / 20     ⇒     k = 20     
 
A 1 Litro de la mezcla le corresponden 20 % de pureza, entonces a 5 % y 15 % cuantos litros les corresponderá?    

          →   La cantidad de alcohol menos puro es el de 5 % (20) =  100 Litros.
          →   La cantidad de alcohol más puro es el de 15 %(20) =  300 Litros.
3. Comprobemos: 
   1. Comprobemos si la cantidad de alcohol coincide:
      
       100 Litros + 300 Litros = 400 Litos

   2. Comprobemos si el grado de las sustancias alcoholicas coincide:

       100 Litros de alcohol al 20 %  (Pureza de la Mezcla) = 20 % / L

       300 Litros de alcohol al 20 % (Pureza de la Mezcla) = 60 % / L

                   20 % / L + 60 % / L = 400 Litros . 20 % 
                          
                            80 % / L = 80 % / L

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