INTRODUCCIÓN
Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema como por ejemplo:
DEFINICIÓN
Suponga que Df, el dominio de f(x), contiene el punto c. Decimos que:
(i) f (c) es el valor máximo de f(x) en Df, si f (c) ≥ f (x) para toda x en Df;
(ii) f (c) es el valor mínimo de f(x) en Df, si f (c) ≤ f (x) para toda x en Df;
(iii) f (c) es el valor extremo relativo de f(x) en Df, si es un valor máximo o un valor mínimo;
Se tiene una función f(x) continuamente diferenciable hasta el orden n en sus números críticos y queremos encontrar sus máximos o mínimos locales procedemos de la siguiente manera:
1. Encontrar el o los números críticos de la función igualando a cero la primera derivada. Se hace f'(x) = 0 y se encuentra el o los valores de la variable independiente que producen esa igualdad. Llamaremos c.
2. Se calcula la segunda derivada (la derivada de la derivada) y se evalúa en los números críticos encontrados en el punto anterior t se aplica el siguiente teorema:
TEOREMA DE LOS EXTREMOS RELATIVOS:
Sea c un número critico de una función f(x) en el que f´(x) = 0 y suponga que f ”(x) existe para todos los valores de x en un intervalo abierto que contiene a c.
Problemas de máximos y mínimos:
Entre las aplicaciones de la derivada determinar los puntos óptimos en problemas prácticos se pueden seguir los siguientes pasos para resolver los planteamientos:
Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en Dollares, viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión:
R(x) = - 0,001x2 + 0,4x + 3,5
Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan.
¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?
Solución:
Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:
R'(x) = - 0,002x + 0,4 ⇒ x = (0,4)/(0,002) ⇒ x = 200
R''(x) = - 0,002 < 0, por tanto x = 200 US$ es un máximo de la función R(x) La rentabilidad que se obtiene es:
R(200) = - 0,001(200)2 + 0,4 × 200 + 3,5 = 43,5 US$
EJEMPLO N° 2
Descomponer el número 9 en dos sumandos x y y, tales que la suma x2 + 6y sea mínima.
x = Primer numero y = Segundo numero
Función a optimizar S(x) = x2 + 6y
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable: x + y = 9 → y = 9 – x S(x) = x2 + 6(9 - x)
S(x) = x2 + 54 - 6x
S(x) = x2 - 6x + 54
Para que exista un mínimo o un máximo S´(x) = 0, la primera derivada debe ser igual a cero.
S´(x) = 2x – 6
2x – 6 = 0
x = 3
Para que exista un mínimo S´´(x) > 0, la segunda derivada debe ser mayor que cero.
S´´(x) = 2, efectivamente 2 > 0, dos es mayor que cero por lo tanto existe un mínimo.
y = 9 – x → y = 9 – 3 → y = 6
Los dos números que verifican que la condición del enunciado sea mínima son el 3 y el 6.
EJEMPLO N° 3
Halla dos números que sumados den 20 y cuyo producto sea máximo. x = Primer numero y = Segundo numero El problema a resolver es el siguiente: x + y = 20 xy máximo Llamamos p al producto de los dos números, esto es, p = x.y [*] Como x + y = 20 → y = 20 – x y sustituyendo en [*] resulta: p = x (20 – x) → 20x – x2 Vamos a calcular el (o los) máximo(s) de la función p(x): P´ (x) = 20 – 2x P´ (x) = 0 ↔ 20 – 2x = 0 ↔ 20 = 2x ↔ x = 10 P´´ (x) = – 2 x = 10 es un máximo Por tanto, los números buscados son: x = 10 y = 20 – x ↔ y = 20 – 10 ↔ y = 10
Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema como por ejemplo:
- Un granjero necesita elegir la mezcla que sea la más apropiada para producir la mayor ganancia.
- Un médico desea seleccionar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad.
- A un fabricante le gustaría minimizar el costo de distribución de sus productos.
Algunas veces, un problema de este tipo puede formularse de modo que implique maximizar o minimizar una función en un conjunto de datos. Si es así, los métodos de cálculo proporcionan una herramienta poderosa para resolver este tipo de problemas.
Entonces suponga que se nos da una función f(x) y un dominio, ahora planteamos tres preguntas:- ¿f (x) tiene un valor máximo o un valor mínimo en Df ?
- Si tiene un valor máximo o un valor mínimo, ¿dónde se alcanzan?
- Si existen, ¿cuáles son los valores máximo y mínimo?
DEFINICIÓN
Suponga que Df, el dominio de f(x), contiene el punto c. Decimos que:
(i) f (c) es el valor máximo de f(x) en Df, si f (c) ≥ f (x) para toda x en Df;
(ii) f (c) es el valor mínimo de f(x) en Df, si f (c) ≤ f (x) para toda x en Df;
(iii) f (c) es el valor extremo relativo de f(x) en Df, si es un valor máximo o un valor mínimo;
Se tiene una función f(x) continuamente diferenciable hasta el orden n en sus números críticos y queremos encontrar sus máximos o mínimos locales procedemos de la siguiente manera:
1. Encontrar el o los números críticos de la función igualando a cero la primera derivada. Se hace f'(x) = 0 y se encuentra el o los valores de la variable independiente que producen esa igualdad. Llamaremos c.
2. Se calcula la segunda derivada (la derivada de la derivada) y se evalúa en los números críticos encontrados en el punto anterior t se aplica el siguiente teorema:
TEOREMA DE LOS EXTREMOS RELATIVOS:
Sea c un número critico de una función f(x) en el que f´(x) = 0 y suponga que f ”(x) existe para todos los valores de x en un intervalo abierto que contiene a c.
- Si f ”(x) < 0, entonces tiene un valor máximo relativo en c.
- Si f ”(x) > 0 entonces tiene un valor mínimo relativo en c.
Problemas de máximos y mínimos:
Entre las aplicaciones de la derivada determinar los puntos óptimos en problemas prácticos se pueden seguir los siguientes pasos para resolver los planteamientos:
- Escribir una ecuación que represente la cantidad que se desea maximizar o minimizar y hacer una gráfica adecuada de la situación.
- Si la ecuación contiene más de una variable se debe encontrar otra ecuación que relaciones las variables, para expresar la ecuación en función de una única variable.
- Se iguala la primera derivada a cero, para hallar los puntos en los que la primera derivada no existe, o se verifican los extremos.
- Verificar la solución para determinar si se trata de un máximo o mínimo.
Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en Dollares, viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión:
R(x) = - 0,001x2 + 0,4x + 3,5
Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan.
¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?
Solución:
Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:
R'(x) = - 0,002x + 0,4 ⇒ x = (0,4)/(0,002) ⇒ x = 200
R''(x) = - 0,002 < 0, por tanto x = 200 US$ es un máximo de la función R(x) La rentabilidad que se obtiene es:
R(200) = - 0,001(200)2 + 0,4 × 200 + 3,5 = 43,5 US$
EJEMPLO N° 2
Descomponer el número 9 en dos sumandos x y y, tales que la suma x2 + 6y sea mínima.
x = Primer numero y = Segundo numero
Función a optimizar S(x) = x2 + 6y
Vamos a colocar la función a optimizar en función de una sola variable: x + y = 9 → y = 9 – x S(x) = x2 + 6(9 - x)
S(x) = x2 + 54 - 6x
S(x) = x2 - 6x + 54
Para que exista un mínimo o un máximo S´(x) = 0, la primera derivada debe ser igual a cero.
S´(x) = 2x – 6
2x – 6 = 0
x = 3
Para que exista un mínimo S´´(x) > 0, la segunda derivada debe ser mayor que cero.
S´´(x) = 2, efectivamente 2 > 0, dos es mayor que cero por lo tanto existe un mínimo.
y = 9 – x → y = 9 – 3 → y = 6
Los dos números que verifican que la condición del enunciado sea mínima son el 3 y el 6.
EJEMPLO N° 3
Halla dos números que sumados den 20 y cuyo producto sea máximo. x = Primer numero y = Segundo numero El problema a resolver es el siguiente: x + y = 20 xy máximo Llamamos p al producto de los dos números, esto es, p = x.y [*] Como x + y = 20 → y = 20 – x y sustituyendo en [*] resulta: p = x (20 – x) → 20x – x2 Vamos a calcular el (o los) máximo(s) de la función p(x): P´ (x) = 20 – 2x P´ (x) = 0 ↔ 20 – 2x = 0 ↔ 20 = 2x ↔ x = 10 P´´ (x) = – 2 x = 10 es un máximo Por tanto, los números buscados son: x = 10 y = 20 – x ↔ y = 20 – 10 ↔ y = 10
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