D´ Repaso Virtual: PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Para facilitar el proceso de hallar límites, existen ciertas reglas sobre estos. Cualquiera de estas puede ser verificada usando la definición formal de límite.

1. LIMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE:

El límite cuando x → a; de una función constante f ( x ) = k es igual a k ; Simbólicamente:

EJEMPLO:: El limite cuando x → 2 ; de f ( x ) = 5 es :

2. LIMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD:

El límite cuando x → a; de la función identidad f ( x ) = x es igual a a; Simbólicamente:

EJEMPLO:: El limite cuando x → 0; de f(x) = x es:

3. LIMITE DE UNA SUMA DE FUNCIONES:

El límite cuando x → a; de una suma de funciones [f(x) + g(x)] es igual la suma de los límites de cada función, simbólicamente;

EJEMPLO:: Si f(x) = 4x² y g(x) = 3x +1, El límite cuando x → 1; de f(x) + g(x) = 4x² + 3x + 1 es:

4. LIMITE DE UNA DIFERENCIA DE FUNCIONES:

El límite cuando x → a; de una diferencia de funciones [f(x) - g(x)] es igual la diferencia de los límites de cada función, simbólicamente;

EJEMPLO:: si f(x) = x² y g(x) = 2x + 1, El limite cuando x → 1; de f(x) - g(x) = x² - 2x - 1 es:

5. LIMITE DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES:

El límite cuando x → a; de un producto de funciones [f(x) . g(x)] es igual la producto de los límites de cada función, simbólicamente;

EJEMPLO:: Si f(x) = x + 1 y g(x) = x - 1, El límite cuando x → 1; de f(x).g(x) = (x + 1) . (x- 1) es:

6. LIMITE DE UN COCIENTE DE FUNCIONES:

El límite cuando x → a; de un cociente de funciones [f(x) ÷ g(x)] es igual la cociente de los límites de cada función, simbólicamente;

EJEMPLO:: Si f(x) = x + 1 y g(x) = x - 1, El límite cuando x → 2; de f(x) ÷ g(x) = (x + 1) ÷ (x- 1) es:

7. LIMITE DE UNA RAIZ:

El límite cuando x → a; de una función raíz f ( x ) = √ g ( x ) es igual a la raíz del límite; si g(x) > 0, Simbólicamente:

EJEMPLO:: Si f(x) = √ 2x + 1, El límite cuando x → 4; de f(x) es:

8. LIMITE DE UNA POTENCIA:

El límite cuando x → a; de una función potencia f ( x ) = [g ( x )]ⁿ es igual a la potencia del límite; Simbólicamente:

EJEMPLO:: Si f(x) = (x + 1)² El límite cuando x → 2; de f(x) es:

APLICANDO LAS PROPIEDADES SIMULTÁNEAMENTE:

EJEMPLO::

Hallar el límite de la siguiente función

Límite de un cociente

Límite de una suma

Límite de una producto

Operando y simplificando

NOTA:

Decimos que el límite de f(x) cuando x → a; no depende del valor de f(x) en x = a. No obstante, si ocurre que el límite es precisamente f(a), decimos que el límite puede evaluarse por sustitución directa. Es decir,

EJEMPLO::

Las funciones con tan buen comportamiento se llaman continuas en a y estudiaremos detalladamente este concepto más adelante. Una aplicación interesante de la sustitución directa se ofrece en el siguiente ejemplo.

EJERCICIOS RESUELTOS::