DEFINICIÓN:
Para que una función sea continua debe cumplir las tres (3) condiciones anteriores, de no cumplir una sola de ellas la función es DISCONTINUA.
CONTINUIDAD EN UNA GRÁFICA
EJEMPLO N° 1
La condición (1) y (2) se cumplen, por lo tanto f(x) es una función continua en x = 1. Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es continua en x = 1.
EJEMPLO N° 2
Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es discontinua en x = -1.
EJEMPLO N° 3
Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es discontinua en x = -1.
EJEMPLO N° 4
Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es discontinua en x = -1.
DISCONTINUIDAD EVITABLE
Sea f(x) una función discontinua en x = a. Decimos que f(x) posee una discontinuidad evitable o removible en x = a
Como su nombre lo indica, la discontinuidad evitable es aquella que podemos obviar. Esto se logra simplemente
En nuestras funciones, las gráficas 1 y 2 presentan discontinuidad evitable o removible, por tanto, la podemos obviar (volverlas continuas) con sólo redefinirlas. Veamos:
CONTINUIDAD ANALITICAMENTE
EJEMPLO N° 1
Decimos que la función es continua en x = -1.
TEOREMA
1. Toda función polinomial es continua en cualquier punto, es decir, es continua en todo R .
2. Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, si es continua en su dominio.
EJERCICIOS RESUELTOS
Analicemos la continuidad de las funciones dadas en el valor dado. Si la discontinuidad es evitable, redefinir la función de tal manera que sea continua.
EJEMPLO N° 1: GRÁFICAMENTE
EJEMPLO N° 2: ANALITICAMENTE
EJEMPLO N° 3: ANALITICAMENTE
EJERCICIOS PROPUESTOS
Determinar la continuidad de cada función en el punto dado. En caso de ser discontinua, determinar si es evitable o inevitable. En caso de ser removible, redefinir f(a) de tal manera que la función sea continua.
GRÁFICAMENTE
ANALITICAMENTE
En forma intuitiva podemos afirmar que una función es continua si su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz, sin interrupciones, es decir, en forma continua. Por el contrario, es discontinua, si trazamos su gráfica por etapas: primero un tramo y luego el otro, es decir, hay puntos o tramos donde la gráfica se interrumpe.
Consideremos las funciones:
Una función
f(x) es continua en el punto
x = a, si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones:
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| Si |
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existe | |
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| Si |
|
existe | |
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| Si |
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Se cumple |
Para que una función sea continua debe cumplir las tres (3) condiciones anteriores, de no cumplir una sola de ellas la función es DISCONTINUA.
EJEMPLO N° 1
| Determinar gráficamente la continuidad de la función |
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en x = 1 |
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f(1) = 1. | ||
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|||
La condición (1) y (2) se cumplen, por lo tanto f(x) es una función continua en x = 1. Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es continua en x = 1.
EJEMPLO N° 2
| Determinar gráficamente la continuidad de la función |
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en x = -1 |
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f(-1) no existe, ya que x = -1 no tiene imagen, hay una asíntota vertical. | ||
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La condición (1) y (2) no se cumplen, por lo tanto f(x) no es una función continua en x = -1. | |||
Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es discontinua en x = -1.
EJEMPLO N° 3
| Determinar gráficamente la continuidad de la función |
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en x = -1 |
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f(-1) = 1, Puesto que en x = -1, el intervalo es cerrado. | ||
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La condición (2) no se cumple, por lo tanto f(x) no es una función continua en x = -1., | |||
Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es discontinua en x = -1.
EJEMPLO N° 4
| Determinar gráficamente la continuidad de la función |
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en x = 2 |
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f(2) = 1. Por definición. | ||
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La condición (2) no se cumplen, por lo tanto f(x) no es una función continua en x = 2. | |||
Decimos que la función representada en la Gráfica anterior es discontinua en x = -1.
DISCONTINUIDAD EVITABLE
Sea f(x) una función discontinua en x = a. Decimos que f(x) posee una discontinuidad evitable o removible en x = a
| si y sólo si |
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existe, en caso contrario la llamaremos discontinuidad inevitable o esencial. |
Como su nombre lo indica, la discontinuidad evitable es aquella que podemos obviar. Esto se logra simplemente
| haciendo que f(a) coincida con el |
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De esta manera lograremos que se cumplan dichas condiciones. |
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En nuestras funciones, las gráficas 1 y 2 presentan discontinuidad evitable o removible, por tanto, la podemos obviar (volverlas continuas) con sólo redefinirlas. Veamos:
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EJEMPLO N° 1
| Determinar la continuidad de la siguiente función en el punto x = -1 |
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| PASO N° 1: Hallar f(-1) |
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| PASO N° 2: Hallar límite lateral por la izquierda cuando x = -1 |
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= |
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| PASO N° 3: Hallar límite lateral por la derecha cuando x = -1 |
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= |
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| Como los límites laterales son iguales decimos que: |
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| PASO N° 4: Comparamos f(a) y Lim f(x) |
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Decimos que la función es continua en x = -1.
TEOREMA
1. Toda función polinomial es continua en cualquier punto, es decir, es continua en todo R .
2. Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, si es continua en su dominio.
Analicemos la continuidad de las funciones dadas en el valor dado. Si la discontinuidad es evitable, redefinir la función de tal manera que sea continua.
EJEMPLO N° 1: GRÁFICAMENTE
EJEMPLO N° 2: ANALITICAMENTE
EJEMPLO N° 3: ANALITICAMENTE
Determinar la continuidad de cada función en el punto dado. En caso de ser discontinua, determinar si es evitable o inevitable. En caso de ser removible, redefinir f(a) de tal manera que la función sea continua.
| EJEMPLO N° 1: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 0. |
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| EJEMPLO N° 2: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -1. |
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| EJEMPLO N° 3: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -2. |
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| EJEMPLO N° 4: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -1. |
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| EJEMPLO N° 5: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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| EJEMPLO N° 1: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 1. |
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| EJEMPLO N° 2: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 3. |
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| EJEMPLO N° 3: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 1. |
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| EJEMPLO N° 4: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -2. |
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| EJEMPLO N° 5: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 6. |
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| EJEMPLO N° 6: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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| EJEMPLO N° 7: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 3. |
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| EJEMPLO N° 8: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -2. |
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| EJEMPLO N° 9: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 5. |
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| EJEMPLO N° 10: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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| EJEMPLO N° 11: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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| EJEMPLO N° 12: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 1. |
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| EJEMPLO N° 13: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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| EJEMPLO N° 14: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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| EJEMPLO N° 15: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 3. |
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| EJEMPLO N° 16: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -1. |
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| EJEMPLO N° 17: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = -1. |
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| EJEMPLO N° 18: Determinar la continuidad o discontinuidad de la siguiente función en el punto x = 2. |
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