DEFINICIÓN:
Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n.
EJEMPLOS:
Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula:
En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los Anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.
TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN CUADRÁTICA
EJEMPLO N° 1: Hallar le término general de la sucesión: an = { 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . }
PASO N° 1: Verificamos si la sucesión es lineal: o cuadrática:
La diferencia en el Nivel 2 es una constante ( 2 ), por lo tanto la sucesión an = { 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . } es una sucesión CUADRÁTICA de la forma an2 + bn + c .
PASO N° 2: Para encontrar el valor de a, b, c podemos utilizar el método de las diferencias.
Estableciendo las siguientes relaciones con sus términos a1 d1 y D1
Primer término de la sucesión = a1 → a1; = a + b + c = 4.
Primer término de la diferencia del Nivel 1 = d1 → d1 = 3a + b = 5,
Primer término de la diferencia del Nivel 2 = D1 → D1 = 2a = 2,
Para finalizar resolvemos las siguientes ecuaciones:
2a = 2 a = 2 / 2 a = 1
3a + b = 5 b = 5 - 3(1) b = 2
a + b + c = 4 c = 4 - 1- 2 c = 1
PASO N° 3: Establecemos el término general reemplazando los valores de a, b y c.
Por lo tanto el término general de la sucesión será an2 + bn + c = 1n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1
EJERCICIOS RESUELTOS
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EJEMPLO N° 1:
EJEMPLO N° 2:
EJEMPLO N° 3:
EJEMPLO N° 4:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Verificar si las siguientes sucesiones son cuadráticas y hallar el término general:
Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con an, a la expresión que representa uno cualquiera de sus términos.
Hay sucesiones cuyo término general es una expresión algebraica, que nos permite saber cualquier término de la sucesión sabiendo el lugar que ocupa, n.
EJEMPLOS:
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Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula:
En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los Anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.
Una sucesión CUADÁTICA es de la forma: an2 + bn + c en donde a, b y c son constantes, y n es el número del término deseado.
EJEMPLO N° 1: Hallar le término general de la sucesión: an = { 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . }
PASO N° 1: Verificamos si la sucesión es lineal: o cuadrática:
- Una sucesión es lineal, si la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es un CONSTANTE (NIVEL 1)
- Una sucesión es Cuadrática, si la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es un CONSTANTE (NIVEL 2)
La diferencia en el Nivel 2 es una constante ( 2 ), por lo tanto la sucesión an = { 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . } es una sucesión CUADRÁTICA de la forma an2 + bn + c .
PASO N° 2: Para encontrar el valor de a, b, c podemos utilizar el método de las diferencias.
Estableciendo las siguientes relaciones con sus términos a1 d1 y D1
Primer término de la sucesión = a1 → a1; = a + b + c = 4.
Primer término de la diferencia del Nivel 1 = d1 → d1 = 3a + b = 5,
Primer término de la diferencia del Nivel 2 = D1 → D1 = 2a = 2,
Para finalizar resolvemos las siguientes ecuaciones:
PASO N° 3: Establecemos el término general reemplazando los valores de a, b y c.
Por lo tanto el término general de la sucesión será an2 + bn + c = 1n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1
EJEMPLO N° 1:
EJEMPLO N° 2:
EJEMPLO N° 3:
EJEMPLO N° 4:
Verificar si las siguientes sucesiones son cuadráticas y hallar el término general:
Excelente trabajo
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