FUNCIÓN CUADRÁTICA

DEFINICIÓN:

Una función cuadrática es aquella que esta definida de la forma y = ax² + bx + c, ó f(x) = ax² + bx + c, con   y .

a = "Es el coeficiente de x²",     b = "Es el coeficiente de x",     y    c = "Es le término independiente"
EJEMPLOS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS:

           
           
CARACTERÍSTICAS PARA GRAFICAR:

Las gráficas de las funciones cuadráticas no son difíciles de dibujar. Para dibujar una gráfica de una función cuadrática, se puede tener en cuenta los siguientes aspectos:

     1.    Interceptos con el EJE Y: Es un solo punto que tiene como coordenadas el punto P(0, c).

            EJEMPLO     La función x² + 4x + 3, tiene su intercepto en el Eje Y, en el punto P(0, 3).

     2.    El vértice de la parábola, es un solo punto que tiene como coordenadas el punto P(-b/2a, f(-b/2a)).

            EJEMPLO     La función x² + 4x + 3, tiene su vértice en el punto:

            Cuya coordenada X es:V_x = - b / 2a         V_x = - 4 / 2(1)                     V_x = - 4 / 2             V_x = - 2.

            Cuya coordenada Y es:V_Y = f(- 2)             V_Y = (- 2)² + 4(- 2) + 3        V_Y = 4 - 8 + 3         V_Y = - 1

El Vértice de la parábola x2 + 4x + 3 es P(- 2, - 1)

    3.     Interceptos con el EJE X para saber si existen o no aplicamos el método del discriminante: "Δ"

a.   si b2 - 4ac > 0. entonces, existen DOS interceptos con el EJE X.

            EJEMPLO    si y = x² + 4x + 3,     Δ = 4² - 4 (1) (3);     Δ = 16 - 12;     Δ = 4   ∧   4 > 0  (positivo)

            para hallar interceptos, factorizamos si es posible o aplicamos la formula general   y = x² + 4x + 3,  

            0 = (x + 3) (x + 1);   finalmente hallamos los puntos crítico   x = -3   y   x = -1

b.   si b2 - 4ac = 0. entonces, existe UN intercepto con el EJE X.

            EJEMPLO    si y = x² + 2x + 1     Δ = 2² - 4 (1) (1);     Δ = 4 - 4;     Δ = 0   ∧   0 = 0  (cero)

            para hallar interceptos, factorizamos si es posible o aplicamos la formula general   y = x² + 2x + 1,  

            0 = (x + 1) (x + 1);   finalmente hallamos los puntos crítico   x = -1   y   x = -1

c.   si b2 - 4ac < 0. entonces NO existen interceptos con el EJE X.

            EJEMPLO    si y = x² + 2     Δ = 0² - 4 (1) (2);     Δ = 0 - 8;     Δ = - 8   ∧   - 8 < 0  (negativo)

            Por lo tanto NO HAY INTERCEPTOS CON EL EJE X, la forma de resolverlo es mediante una tabla
            de valores como veremos en el EJEMPLO RESUELTO N° 4, de los ejercicios propuestos.

    4.     Analizamos el coeficiente de x² para saber si la parabola abre hacia ARRIBA o hacia ABAJO,

Si a > 0 ABRE HACIA ARRIBA.	Si a < 0 ABRE HACIA ABAJO.

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EJERCICIOS RESUELTOS:

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EJEMPLO N° 1:   x² + x - 2


EJEMPLO N° 2:   x² + 4x + 3


EJEMPLO N° 3:   x² + 2x + 1


EJEMPLO N° 4:   x² + 2x - 1


SIMULADOR DE GRÁFICAS CUADRÁTICAS

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EJERCICIOS PROPUESTOS

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Gratificar las siguientes funciones cuadráticas, Hallando intercepto con ambos ejes, vértice y elaborar una tabla de datos, en caso de ser necesario (Si no existen interceptos con el eje X )

1. f(x) = x² + 7x + 12

2. f(x) = x² + 3x + 4

3. f(x) = x² + 3x - 4

4. f(x) = 2x² + 7x + 3

5. f(x) = 2 + 3x - x²