FUNCIONES REALES

En Matemáticas , normalmente se trabaja, con funciones reales de variable real, es decir, funciones en las cuales el conjunto final (RANGO) es el de los números reales y el conjunto inicial (DOMINIO) también es el de los números reales. En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos y esta función se denota por:

El conjunto de los valores que puede tomar la variable INDEPENDIENTE, “x”, se llama DOMINIO de definición de la función y se denota como Dom o D_f.

El conjunto de los valores que puede tomar la variable DEPENDIENTE , “f(x)”, se llama RANGO de la función y se denota como Ran o R_f.

Puesto que tanto la variable “x” como la función “Y” toma valores reales, estas funciones se llaman funciones reales de variable real.

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CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES REALES

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DOMINIO DE LAS FUNCIONES REALES: Dominio de f(x) es el conjunto de valores para los que está definida la función, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente “x”. Se denota por Dom(f), D_f o D(f).

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• FUNCIONES POLINÓMICAS:

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El dominio de un polinomio es todo R:     f(x) = P(x)     →     D(f) = R     →     (- ∞, + ∞)

F(x) = 2	F(x) = x + 2	F(x) = x2 - 1
FUNCIÓN CONSTANTE	FUNCIÓN LINEAL	FUNCIÓN CUADRÁTICA

y = x3 + 1	y = x4 - 2x2 - 1	y = x5 + x4 + 2x2 - 1
FUNCIÓN CÚBICA	FUNCIÓN CUÁRTICA	FUNCIÓN QUINTICA

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• FUNCIONES RACIONALES:

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El dominio de las funciones racionales es todo R menos los puntos donde se anula el denominador:

f (x) = P(x) / Q(x)     →     D(f) = { x ∈ R / Q(x) ≠ 0}   →   R - { x ∈ R / Q(x) = 0}

y = 1 / x - 1	y = x + 1 / x2 - 9	y = 2 / x2
Df = R - {1}	Df = R - {-3, 3}	Df = R - {0}

PASOS:

1. Igualmaos el denominador a cero, Q(x) = 0.
2. Despejamos la variable x.

EJEMPLOS:

1. f(x) = 1 / x - 1      →     x - 1 = 0     →      x = 1    →      Df = R - {1}  

2. f(x) = 1 / x2 - 9   →   x2 - 9 = 0   →   (x + 3)(x - 3) = 0   →     x = -3 y x = 3.  

D_f = R - {3, -3}

3. f(x) = 1 / x2   →   x2 = 0   →     x = 0.     →   Df = R - {0}   

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• FUNCIONES RADICALES

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El dominio de la función radical depende de si n (indice del radical) es par o impar:

Si n es impar	→	D(f) = R
Si n es par	→	D(f) = { x ∈ R / P(x) ≥ 0}

y = √(x + 1)	y = √(x2 - 1)	y = √(x + 2) - 1
Df = [- 1, + ∞)	Df = (- ∞, -1] U [1. + ∞)	Df = [- 2, + ∞)

PASOS:

1. Igualmaos el argumento (Cantidad subradical) a mayor o igual a cero, P(x) ≥ 0.
2. Despejamos la variable x.

EJEMPLOS:

1. f(x) = √(x - 1)       →     x - 1 ≥ 0     →      x ≥ -1    →      Df = [-1, + ∞)  

2. f(x) = √(x2 - 1)    →  (x + 1)(x - 1) ≥ 0   →   aplicando el método del cementerio 

3. f(x) = √(x + 2)       →     x + 2 ≥ 0     →      x ≥ -2    →      Df = [-2, + ∞)  

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• FUNCIONES EXPONENCIALES

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El dominio de una función exponencial es todo R:     f(x) = a^x     →     D(f) = R

y = 2x	y = 32 - x	y = 1/2(x + 1)
Df = (- ∞, + ∞)	Df = (- ∞. + ∞)	Df = (- ∞, + ∞)

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• FUNCIONES LOGARÍTMICAS

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La función logarítmica de base a, con a > 0, y a ≠ 1; denotada por y = log_a x se define como

 y = loga x       ⇒       x = ay 

El dominio de la función logarítmica su P(x) > 0 :

f(x) = log_a P(x)  →   D(f) = { x ∈ R / P(x) > 0}  →   R - {x ∈ R / P(x) ≤ 0}

y = log (x + 1)	y = log(x2 -1)	y = log(x + 1) + 2
Df = (- 1, + ∞)	Df = (- ∞. -1) U (1. + ∞)	Df = (- 1, + ∞)

PASOS:

1. Igualmaos el argumento a mayor a cero, P(x) > 0.
2. Despejamos la variable x.

EJEMPLOS:

1. f(x) = log(x - 1)       →     x - 1 > 0     →      x > -1    →      Df = (-1, + ∞)  

2. f(x) = log(x2 - 1)    →  (x + 1)(x - 1) > 0   →   aplicando el método del cementerio 

3. f(x) = log(x + 1) + 2       →     x + 1 > 0     →      x > -1    →      Df = (-1, + ∞)  

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• FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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El dominio de la función Seno (x) es todo R:     f(x) = Sen P(x)     →     D(f) = R

El dominio de la función Seno (x) es todo R:     f(x) = Cos P(x)     →     D(f) = R

El resto (tangente, secante,….) ponerlas como cociente y estudiar su dominio como una función racional (denominador diferente de cero).