RELACIONES

INTRODUCCIÓN

PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano es una operación entre dos conjuntos A y B, en la cual se obtienen parejas ordenadas (x, y) de modo que el primer elemento (x) pertenece al conjunto A y el segundo elemento (y) pertenece al conjunto B.

Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x ∈ A ʌ y ∈ B} Ejemplos N° 1:

Si A = {1, 2, 3} y B = { 4, 5, 6 }, encontrar el producto cartesiano de A x B.

A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}
REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

DIAGRAMA SAGITAL	PLANO CARTESIANO

RELACIONES

Para entender el concepto de Relación es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación Ejemplo: En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio, en los contactos del celular cada usuario está relacionado con un número; o sea, a cada nombre le corresponde un número.

Definición: (Relación)

Una Relación ente dos conjuntos A y B, es un subconjunto del producto cartesiano A x B, donde las parejas (x, y) cumplen una CONDICIÓN especifica.

En esta correspondencia al primer conjunto A lo llamaremos DOMINIO y al segundo conjunto B lo llamaremos RANGO o Recorrido,

f: x → y = f(x)

x es la variable independiente (Primera componente)

y es la variable dependiente (Segunda componente)

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Ejemplo N° 1

Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, encontrar la siguiente relaciÓn R1 definidas de A en B.

R1 está definida como el conjunto de pares ordenados R1 = {(x, y) / x < y}

Solución:

La relación R1 está conformada por el conjunto de parejas ordenadas tales que la primera componente (x) sea menor que la segundo componente (y) :

R1 = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} }
Representación Gráfica

DIAGRAMA SAGITAL	PLANO CARTESIANO

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Ejemplo N° 2

Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, encontrar la siguiente relaciÓn R2 definidas de A en B.

R2 está definida como el conjunto de pares ordenados R2 = {(x, y) / y = x + 2}

Solución:

La relación R2 está conformada por el conjunto de parejas ordenadas tales que la segunda componente (y) es igual a la primera componente (x) más 2 unidades :

R2 = {(2, 4), (3, 5)}
Representación Gráfica

DIAGRAMA SAGITAL	PLANO CARTESIANO

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Ejemplo N° 3

Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, encontrar la siguiente relaciÓn R3 definidas de A en B.

R3 está definida como el conjunto de pares ordenados R3 = {(x, y) / y = 4}

Solución:

La relación R3 está conformada por el conjunto de parejas ordenadas tales que la segunda componente (y) es igual siempre igual a 4, para cada valor que toma la primera componente (x) :

R3 = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}
Representación Gráfica

DIAGRAMA SAGITAL	PLANO CARTESIANO

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Ejemplo N° 4

Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, encontrar la siguiente relaciÓn R4 definidas de A en B.

R4 está definida como el conjunto de pares ordenados R4 = {(x, y) / x + y = 7}

Solución:

La relación R4 está conformada por el conjunto de parejas ordenadas tales que al sumar la primera componente (x) más la segunda componente (y) el resultado da siempre 7:

R4 = {(1, 6), (2, 5), (3, 4)}
Representación Gráfica

DIAGRAMA SAGITAL	PLANO CARTESIANO

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

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Dados los siguientes conjuntos Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, Hallar las relaciones definidas de A en B.

1. R1 está definida como el conjunto de pares ordenados R1 = {(x, y) / y = 2x + 1}

2. R2 está definida como el conjunto de pares ordenados R2 = {(x, y) / y = x² - x}

3. R3 está definida como el conjunto de pares ordenados R3 = {(x, y) / y = x² + 2}

4. R4 está definida como el conjunto de pares ordenados R4 = {(x, y) / y = 3x}

5. R5 está definida como el conjunto de pares ordenados R5 = {(x, y) / x + y = 5}